§2.4 Aasnesten
We kunnen Aasblazer gebruiken als super radix systeem,
zodat ieder geheel getal een unieke input expressie heeft.
In radix expressies zijn alle parameters en indexen
kleiner dan het basis getal a
.
De Aasblazer evaluatie trein rijdt met aas
a
ver naar rechts de array in,
vult station na station de voorgaande elementen,
tot getal a
bij bel b
aankomt en uiteindelijk optelt tot een groot output getal.
Aasblazer
A.II
klasse *{2}
geneste arrays.
- A.0. a[bw] = wb
- A.1. ,[] `= 0
- A.2. ,[X]0 ≡ 0
- A.3. ,[1X]1 ≡ ,[X]a,[1X]
De laatste regel is de recursie stap,
daarvoor de eliminatie regels.
We nesten rood in blauw ,[X]
voor situaties die op elk array niveau voorkomen, groen in blauw
,[X]
op top niveau.
Per regel
A.1.
valt de nulde komma
,[]
weg, ook als er links geen getal staat:
aan het begin van een subarray.
Nul sep elim is de enige `=
aan l-r
richting gebonden regel van Aasblazer (hopelijk blijft dat zo).
En dat komt alleen, omdat we zulke misplaatste nul seps
rechts in de rij input toelaten,
en output zoals altijd uniek bepaald moet zijn.
De equivalentie
A.2.
verwijdert de seps van leeggetelde iters
0
aan een array einde of middenin,
op elk niveau in geneste arrays.
De meta-tekens 0
geven een leeg
getal aan op die positie in de expressie.
Strikt genomen is het cijfer 0
niet aanwezig,
aangezien alle getallen in ons systeem uit units
1..
bestaan.
Hulpregels
a.II
blijven bij aasnesten
van kracht.
Nu worden Aasblazer's indexen dieper genest:
met de tweede rij iters ,[d,1]c
waarin de komma ,
het derde array niveau
,[1]
opent.
Tel met de 2e index
e
het aantal azen a*e
in de exponent, en daar met de 1e index
d
enen bij op.
- a[,[,[1]1]1] = a[,[,1]1] = a[,[a]1] = a^a
- a[b,[,1]c] = a[b,[a]c] = a^a*c+b
- a[,[1,1]1] = a[,[,1]a] = a^a*a = a^a1
- a[,[1,1]c] = a^a1*c
- a[,[2,1]1] = a^a2
- a[,[d,1]1] = a^ad
- a[,[,2]1] = a^(a*2)
- a[,[,e]1] = a^(a*e)
- a[b,[d,e]c] = a^(a*e+d)*c+b
Door deze super radix een index dieper te nesten,
gebruiken we al een dubbele exponent,
zoals in exponentiële notatie.
Zo is
10[,[3,1]2]
= 2E13
een recent schuldenplafond van de Amerikaanse overheid,
namelijk twintig biljoen dollar [US$ 20 trillion].
In Aasblazer is elk element een
machtsfactor:
de index array vormt een macht van a
met rechts zijn factor of cijfer.
Als we de machtsfactoren binnen een geneste array met regel
A.3.
apart uitwerken, zetten we die index rij om naar een enkel getal.
Dit index getal fungeert dan weer als exponent,
ergens in de grote brede boom van machten van a
.
Druk de dubbele exponent a^a^n
uit met indexen op het 2e niveau in Aasblazer,
waar de dubbel geneste 1e index
de posities aangeeft.
- a[,[,[2]1]c] = a^a^2*c
- a[,[d,[2]1]1] = a^a^2*a^d = a^(a^2+d)
- a[,[,[1]e,[2]1]1] = a^(a^2+a*e)
- a[,[,[2]2]1] = a^(a^2*2)
- a[,[,[2]f]1] = a^(a^2*f)
- a[,[,[3]1]1] = a^a^3
- a[,[,[3]g]1] = a^(a^3*g)
- a[,[,[n]1]1] = a^a^n
Als we een groot getal in een radix noteren, verschilt de
expressie lengte11
niet significant van de unaire vorm.
Zonder indexen, in een radix systeem
waar machten gegeven zijn door hun plaats,
scheelt dit slechts de eerste exponent in de machtstoren.
Dus radix expressie lengte is nauwelijks kleiner
dan het grote getal zelf.
De recursie in regel
A.3.
definieert Aasblazer als radix. De rest is indexering.
Daarom is Aasblazer een minimaal
algoritme.∴
De input expressies van non-random grote getallen
blijven in de Aasblazer super radix goed leesbaar,
omdat er geen reeks nullen hoeft te worden toegevoegd.
Ons systeem doet het cijfer 0
in de ban.
Ook lege plaatsen hoeven niet voor te komen,
als we elementen na hun laatste iteratie meteen via regel
a.3.
opruimen.
Toch is de super radix structuur
in de uitwerking van grote getallen niet bijster klein.
Het aantal elementen dat Aasblazer voor de
evaluatie van a^a^n
in gebruik neemt is a^n
.
Tijdens passages in Aasblazer wordt de expressie lengte
iets groter dan bij een traditionele radix,
maar blijft bijna een exponent kleiner dan bij unaire notatie.
# Googologie 2.4
Als we telbare of meervoudige separatoren
,[S]..
hadden gebruikt, dan zou zo'n systeem de begin positie
van elke index rij uitsparen.
Dit geldt voor meerdere gelijke seps
(met dezelfde index array) die iter posities aangeven,
niet de vele mixe
varianten die mogelijk zijn.
Hierboven in Aasblazer representeert de eerste index
d
dat meervoud.
De index rij in S
zou daarop met e
beginnen, waar de meervoudige e
index moet itereren over aantallen {d}
via een aparte regel.
Om meer expansie uit onze seps te halen,
kunnen we deze beter met iter en al herhalen.
Zo'n array systeem (dat o.a. Bird toepast)
heeft ook andere regels nodig,
om de maten van dimensies te vergroten.
Een element is een sep-iter paar,
dat in een rijen in rij
structuur op een bepaald array niveau is genest.
Doordat de exacte positie, die een iter betekenis geeft,
afhangt van voorgaande index arrays,
staan alle elementen vast in een file,
binnen lagen van array dimensies.
Afgetelde elementen tussenin mogen niet vervallen.
We zouden ook cijfers 0
kunnen inlassen,
of (zoals bij Bird) iteraties aftellen tot 1
en deze alleen aan het array einde verwijderen.
Vergelijk de Aasblazer indexering
met een systeem dat meervoudige komma's herhaalt.
We schetsten met opeenvolgende separatoren het
multidimensionale aspect van onze dubbel geneste
[n]
index.
- ,[d] = , (sep in rij 1)
- ,[,1] = ,, (open rij 2)
- ,[d,1] = , (sep in rij 2)
- ,[,e] = ,, (rij sep in vlak 1)
- ,[,[2]1] = ,,, (open vlak 2)
- ,[,e,[2]1] = ,, (rij in vlak 2)
- ,[,[2]f] = ,,, (vlak in kubus)
- ,[,[3]g] = ,{4} (3e in 4e dim)
- ,[,[n]m] = ,{n1} (dim seps)
Als dezelfde index arrays herhaald worden binnen hun dimensie, lijkt zo'n structuur op een matrix. Deze matrix notatie loopt per nest een niveau op onze notatie uit. Het meervoudige aspect scheelt daarbij maar één index, dat laten we vanaf nu achterwege.
Dan blijkt het tweede subarray niveau [n]
bij unieke seps overeen te komen met de eerste subarray
[n1]
van herhaalde seps.
Binnen dieper geneste arrays zal hetzelfde
structuur verschil gelden.
De vertaling tussen beide systemen is daarmee gegeven.
Met unieke index posities zijn onze blazers
twee keer zo diep genest, als we met herhaalde
indexen hoeven doen.∴
In Aasblazer kan elke array tot een getal herleid worden,
dat voor de array erboven een nieuwe exponent uitdrukt.
Een herhaalbare matrix zal per geneste array
twee exponenten aan zijn toren toevoegen.
Als we dieper nesten, blijkt dat de superexponent
a^^n
van tetratie precies bereikt wordt
met nest niveau n
in Aasblazer.
Als we dus onze super radix zouden matrix herhalen
tot diepte n
, dan zou de superexponent
a^^nn
verdubbeld worden.
Dat is niet zo fraai. Daarom gebiedt de esthetiek,
dat uniek indexeren de natuurlijke notatie
voor array functies is…
De overeenkomst tussen array niveau's en de uitgedrukte exponenten blijkt gaandeweg. Een verdieping van indexen voegt een exponent toe aan de machtstoren van de output.
Een array niveau dieper, voegen we de derde exponent toe aan onze super radix, met de eerste index op het 4e niveau.
- a[,[,[,[1]1]1]1] = a^a^a = a^^3
- a[,[,[,1]1]c] = a^^3*c
- a[,[,[,1]e]1] = a^^3^e = a^(a^a*e)
- a[,[d,[,1]e]1] = a^(a^a*e+d)
- a[,[,[1,1]1]1] = a^(a^a*a) = a^a^a1
- a[,[,[,2]1]1] = a^(a^a*a^a) = a^a^aa
- a[,[,[f,g]1]1] = a^a^(a*g+f)
- a[,[,[,[2]1]1]1] = a^a^a^2
- a[,[,[,[2]h]1]1] = a^a^(a^2*h)
- a[,[,[,[n]1]1]1] = a^a^a^n
In theorie zijn alle gehele getallen in dit domein
uniek uit te drukken met cijfers
0<ci<a
in deze super radix.
Maar praktisch kunnen we
slechts enkele markante grote getallen schrijven.
De lengte van
random getallen12
input in Aasblazer is vanaf tetratie
vrijwel gelijk aan de lengte als enen output.
Zelfs in het domein tot 10^^4
ontsnappen de meeste getallen
aan al onze fysisch mogelijke notatie systemen,
willen we wedden…?!
Geneste arrays in Aasblazer werken we uit tot tetratie.
- a[,[,[,[,[1]1]1]1]1] = a[,[,[,[a]1]1]1] = a^a^a^a = a^^4
- a[.,[..1].1] :n: = a^..1 :n = a^^n
- a.[pi,..qi] :n>0: = a^(..1..)*qi+pi :n:
Neem een Aasblazer expressie met geneste index
tot array niveau 5
,
ongeveer gelijk aan een tetratie 2^^5
.
Tijdens de reductie daarvan tot een reeks enen,
zullen in de top array een aantal van 2^^4
factoren voorbijkomen met elk hun eigen index array.
Voor de fysische uitwerking van zulke getallen
zijn er in het hele heelal niet genoeg quantum bits.
De quantum bit radix van de kosmos kan random getallen
schrijven tot 2^10^120
of
kleiner eigenlijk, omdat de natuurwetten
alle informatie comprimeren.
Dat Aasblazer een minimaal systeem is,
maakt het geschikt voor het opmeten van systemen
voor grotere getallen.
Op een exponent na telt onze super radix
de elementen in ieder array systeem,
dat zijn iteraties heeft ingebed in dezelfde structuren.
We ontwikkelen Aasblazer verder als super radix,
terwijl we aas a
blijven substitueren,
en nieuwe regels afpassen op de supermachten.
Zo zullen we automatische sjablonen
vormen voor de structuren van Bellenblazer,
die bel b
invoegt, maar geen rare andere regels toepast.
En wat computeerbaar is,
is in hogere zin weer recursief…!
Maar voorlopig gaan we met behulp van
(de maximale structuren van) onze minimale functie
een maximale getallenblaasmachine ijken.
Lastig is nu nog om de overgang
tussen types recursie te faciliteren.
Een nieuwe hogere index n
in Aasblazer zal
a^^n
tellen bij het output getal.
Construct *{2}
bestaat uit geneste rijen.
De nieuwe regel zal de nestdiepte dus expanderen,
met één verdieping per stap,
waarmee we naar construct
*{3}
uitbreiden.
Is de vraag wat de simpelste regel in Aasblazer is,
waarvan de limiet naar de volgende supermacht
a^^^ω
gaat…?
Een combinatie van gemixte ster indexen, gg: Mixed minority stars in "Number operations" voor bigPsi (concept 2011).
No comments:
Post a Comment