Nul

Link naar dit blog:
allergrootste.blogspot.nl/2017/07/nul.html
edit jan.2019.

Reuzen Getallen Blogboek

door Giga Gerard

„ Er is, o jongeren, iets ongeborens, ongewordens, ongeschapens, ongevormds. Bestond er, o jongeren, dit ongeborene, ongewordene, ongeschapene, ongevormde niet, dan zou er geen uitweg zijn uit deze wereld van het geborene, gewordene, geschapene, gevormde.” 

Boeddha ♦

§1. Tellen

De constructie van simpele, supersnelle systemen om gigantisch grote getallen te schrijven is het doel van Giga Gerard’s
„Reuzen Getallen Blogboek”.
We nodigen alle wiskunde amateurtjes, aficionada's en avonturiersters uit om de aller-aller-allergrootste getallen te evalueren in een expansie van algoritmes die gaandeweg exotischer en erotischer zal worden!

Wie dingen bij elkaar doet, verzamelt ze een voor een. Hun aantal neemt toe en dat noteren we met een getal. Waarom zou een getal niet gewoon een aantal tellen kunnen zijn…?
Zodoende vormt een 1 en nog 1 vanzelf 11 twee, bijvoorbeeld. En in het algemeen, door twee getallen m en n samen te nemen, wat we schrijven als mn, kunnen we natuurlijk optellen.
In de systemen waarmee we grote getallen willen bouwen, nemen we zulke simplistische natuurlijkheid als leidraad. Vandaag beginnen we overnieuw…

In blog §1.0 telt getal nul 0 nog niets, dan in §1.1 telt getal 1 al iets. Die ietsen tellen in §1.2 op tot getal, hoewel ze in §1.3 elementen zijn in een set, zoals de wiskunde getallen verzamelt in een set.
Dat leidt in §1.4 tot het nesten van sets in sets. En §1.5 geeft een standaard manier van nesten, de ordinalen, waarmee in set theorie getallen zijn gedefinieerd. Uit §1.6 moet blijken, dat ook de grootste structuren terug te brengen zijn tot eenvoudige waarden.

In de eerste drie blogs zullen we getallen gewoon tellen. Maar in de laatste drie blogs reduceren grote systemen tot kleine getallen. Zo bereiken we dus het omgekeerde van ons einddoel: het grootste getal maken met de kleinste expressie. Daarom is de serie blogs van §1 niet onontbeerlijk, maar niettemin instructief.

Lectori salutem !¡ Blader behoedzaam.

§1.0 Nul

Voordat tellen begint, is er de nul 0, die niets   aangeeft. Hoe veel nullen we er ook bij zetten, een extra 0 verandert nooit iets.
Dit zijn de natuurlijke relaties van het getal nul.

00 ≡ 0
0a ≡ a & a0 ≡ a

Termen die equivalent ≡ zijn, kunnen we in elke expressie en zonder voorwaarden omruilen. Zulke regels zijn altijd overal direkt toepasbaar.
Maar optellen van units 0 heeft, behalve het vereenvoudigen van het getal, geen effect op de grootte van de uitkomst.

De eerste specifieke regel herkent alleen nullen. De tweede algemene regel zoekt een teken 0 naast een variabel getal a. Een lege 0 voegt niets aan een getal toe, en daarom wist de nul-eliminatie regel zulke cijfers.
Dus evalueren we 100=10=1. Dat oogt nogal vreemd, maar dat 01 de eerste aanduidt (van minuut, uur, dag) vinden we gewoon.

Gegeven de eliminatie regel 00≡0 zouden we een groot aantal nullen kunnen produceren, door de evaluatie richting om te keren en door 00 in 0 te substitueren. Die reeks nullen is zelf weer tot 0 te reduceren en zo blijven we bezig…?!

• 0 = 00 = 000 == 0.. :ω
• 00.. 0:n = 0.. :n>0 == 0

We kunnen substitutie beide kanten op uitvoeren. Uit de equivalentie relatie P≡Q volgt dat Q≡P ook waar is. Getallen of termen P en Q zijn binnen de expressies van het systeem inwisselbaar.

# Systematiek 1.0

Elke expressie of deel expressie is een aaneengesloten string [reeks] van tekens: cijfers voor getallen, kleine letters voor variabelen, grote letters voor woorden en specifieke tekens voor functie en evaluatie.

Hoewel een spatie iets betekent omdat dit een tekst opdeelt, negeren programma's deze witruimte vaak. Aan wiskundige code voegen we gratis spaties toe voor de leesbaarheid. En we verdelen een lange expressie over regels. Ook schilderen we speciale concepties in kleur.

Een woord is een deel van de expressie, en past syn­tactisch dus in het notatie systeem. Maar het kan ook   leeg zijn, zonder teken.
In regels korten we een woord af met een hoofd­letter, zoals W of X. De woord match blijft na eva­luatie van de expressie hetzelfde.
De woord vorm voldoet in onze notatie aan een extra voorwaarde:

In het woord op zich zijn alle haakjes gesloten paren. Ieder opener haakje [ links correspondeert met een uniek sluiter haakje ] rechts, en vise versa.
Ruimtes binnen haakjes mogen sowieso niet (X[Y)Z] overlappen, dit is foute syntax. Maar stel dat we binnen een subexpressie een array nesten (V[T]X) dan omvat T alleen zijn array ruimte met de daarin geneste arrays. Deze heeft nooit de vorm R]W[S met een deel W van het ouder niveau, omdat haakjes in T niet buiten het woord gepaard mogen worden.

Een kleine letter benoemt de variabele of var voor een getal. Binnen een wiskundige vergelijking bepalen de onafhankelijke variabelen de waarde van de afhankelijke. Maar in de vars van een input expressie kunnen we alle toegestane getallen invullen. Want we zoeken geen bepaalde oplossing, maar expanderen ons systeem.

Onze variabelen zijn positieve eindige of oneindige getallen of leeg.
Vars i en j zijn een index die van 1 tot n toeneemt in een repetitie.
Vars kunnen constant zijn, maar meestal nemen deze in een functie of evaluatie verschillende waarden aan. We geven een beperkt domein van een var aan, zoals {n>0} voor positieve getallen.

Een match voor een variabele is gretig naar units 1, zodat een woord v W er niet aan zal grenzen met een getal.
In die zin is 0 een lege var, op een plaats waar nog niet geteld wordt. Een nul die wacht en graag wil wegvallen tegen enen.

Nul-eliminatie is niet van toepassing op getallen in het tientallig stelsel, waar we met grijpgrage vingers cijfers tellen tot de menselijke maat, de basis 10 die tien heet, vol is.
Hier onderscheiden we decimale getallen in bruin 5 = 11111 of met een decimale punt 10000. erachter.
Tienduizend is trouwens de oude Griekse myriade, hun kwadraat van 100*100. Ook betekende dat toen zoveel als ontelbaar.

Nullen optellen schiet niet op en lijkt een doodlopende weg. Maar een lege structuur kan reduceren tot 0 en vervolgens wegvallen tegen een getal, wat ons systeem volledig maakt. Met structuur eliminatie regels kunnen we alle mogelijke (eindige) input expressies evalueren tot output units (natuurlijk getallen).

In systemen voor grote getallen kunnen we de 0 en het optellen ermee best missen. Dit teken krijgt in onze notatie een aparte betekenis.
Als de lege var 0 in de linker term van een regel voorkomt, dan staat in de match in de expressie geen (ander) getal op of vlak naast die positie. Zo'n 0 geeft aan dat een teller of index echt leeg   is.
En na evaluatie en substitutie met een rechter regel term met 0 valt dit teken meteen weg, vanzelf. Zie bijv. in §2.8 regel B.2.

De kwantiteit 0, die een hoeveelheid aangeeft zonder tel, bewijst in de praktijk goed dienst. Vooral in situaties met heen en weer getel, waarin de waarde 0 tijdelijk of bij benadering is.
Twijfel knaagt: is het cijfer 0 geen oneigenlijk hulpmiddel? Kunnen lege plaatsen zonder opvul 0 wel functioneren? Zou getal 0 principieel tot leegte moeten herleiden en echt verdwijnen? Is een naam 0 voor geen tellen of eerder al tel niet nodig in de taal? Hoe kan geen auto hetzelfde zijn als geen stoel…?

Waarvan men niet spreken kan, daarover moet men zwijgen, besloot de filosoof.⁰ …Slaat dit ook op de nul die geen zwijgers telde?